Номер 540 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Доказательство:

1) Для доказательства удобно воспользоваться методом координат. Введём прямоугольную систему координат так, чтобы её начало совпадало с точкой пересечения осей симметрии — точкой $O(0;0)$.

Ось абсцисс ($Ox$) направим вдоль оси симметрии $a$, а ось ординат ($Oy$) — вдоль оси симметрии $b$ (это возможно, так как оси взаимно перпендикулярны по условию).

2) Выберем произвольную точку $X$ с координатами $(x;y)$, принадлежащую нашей фигуре $F$.

3) Так как ось $a$ (ось $Ox$) является осью симметрии фигуры $F$, то точка, симметричная точке $X$ относительно оси $Ox$, также должна принадлежать фигуре $F$.

При отражении относительно оси $Ox$ абсцисса точки сохраняется, а ордината меняет знак на противоположный. Обозначим эту точку $X_1$:

4) Аналогично, ось $b$ (ось $Oy$) также является осью симметрии фигуры $F$.

Следовательно, точка, симметричная полученной точке $X_1$ относительно оси $Oy$, тоже принадлежит фигуре $F$.

При отражении относительно оси $Oy$ ордината сохраняется, а абсцисса меняет знак. Обозначим эту точку $X_2$:

5) Сравним координаты начальной точки $X(x;y)$ и конечной точки $X_2(-x;-y)$.

Координаты этих точек противоположны друг другу. По определению, две точки с противоположными координатами симметричны относительно начала координат (точки $O$).

6) Таким образом, мы доказали, что для любой точки $X$, принадлежащей фигуре $F$, существует точка $X_2$, симметричная ей относительно точки $O$, которая также принадлежит фигуре $F$.

Это в точности означает, что фигура $F$ центрально-симметрична относительно точки $O$.