№544. На стороне прямоугольника построен треугольник так, что его стороны и пересекают отрезок в точках и , причём точка — середина отрезка . Докажите, что .
Дано:
— прямоугольник.
Треугольник построен на стороне .
Стороны и пересекают в точках и .
— середина отрезка ().
Доказать:
.
Доказательство:
1) Так как — прямоугольник, его противоположные стороны параллельны. В частности, сторона параллельна стороне .
Поскольку точки и лежат на отрезке , отрезок также параллелен ().
2) Рассмотрим треугольник .
В нём отрезок параллелен основанию , а точка по условию является серединой стороны .
По теореме Фалеса (или признаку средней линии), прямая, проходящая через середину одной стороны треугольника параллельно другой стороне, делит третью сторону также пополам.
Следовательно, отрезок является средней линией треугольника .
3) Проведём из вершины высоту к основанию . Пусть она пересекает среднюю линию в точке .
По теореме Фалеса, параллельные прямые ( и ) отсекают на секущих ( и ) пропорциональные отрезки. Так как , то и .
Это означает, что средняя линия треугольника делит его высоту пополам.
4) Заметим, что отрезок — это перпендикуляр между параллельными прямыми и . Его длина в точности равна длине стороны прямоугольника (высоте прямоугольника).
Поскольку высота треугольника состоит из двух таких равных отрезков ( и ), то вся высота треугольника в два раза больше стороны :
5) Запишем формулу площади прямоугольника . Она равна произведению смежных сторон:
6) Запишем формулу площади треугольника . Она равна половине произведения основания на проведённую к нему высоту:
Подставим вместо выражение :
7) Сравнивая полученные выражения, мы видим, что они совпадают:
Вывод: . Что и требовалось доказать.
