Номер 536 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

$△ A BC$ .

Квадраты $A B D E$ и $A CFG$ построены на сторонах вне треугольника.

$A M$ — медиана $△ A BC$ .

$EG$ — отрезок, соединяющий концы сторон квадратов, исходящих из вершины $A$ .

Доказать:

$EG = 2 \cdot A M$ .

Доказательство:

1) Сделаем дополнительное построение. Продлим медиану $A M$ на её же длину за точку $M$ . Обозначим конец отрезка точкой $A_{1}$ .

Таким образом, мы получили, что $A M = M A_{1}$ . Соединим точку $A_{1}$ с вершинами $B$ и $C$ .

2) Рассмотрим получившийся четырёхугольник $A B A_{1} C$ .

В нём диагонали $BC$ и $A A_{1}$ пересекаются в точке $M$ и делятся ею пополам ( $BM = MC$ так как $A M$ — медиана, а $A M = M A_{1}$ по построению).

Если диагонали четырёхугольника пересекаются и делятся пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Из свойств параллелограмма следует:

Противоположные стороны равны: $B A_{1} = A C$ .
Сумма соседних углов равна $18 0^{\circ}$ : $∠ A B A_{1} = 18 0^{\circ} - ∠ B A C$ .

Так как $A CFG$ — квадрат, то его сторона $A G$ равна $A C$ . Значит, $B A_{1} = A G$ .

3) Теперь сравним треугольники $E A G$ и $A B A_{1}$ .

Найдём угол $E A G$ . Полный оборот вокруг точки $A$ составляет $36 0^{\circ}$ .

Углы квадратов $∠ E A B$ и $∠ G A C$ равны по $9 0^{\circ}$ . Тогда:

∠ E A G = 36 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - ∠ B A C = 18 0^{\circ} - ∠ B A C .

Но мы уже знаем, что угол $A B A_{1}$ также равен $18 0^{\circ} - ∠ B A C$ . Значит:

∠ E A G = ∠ A B A_{1} .

В треугольниках $E A G$ и $A B A_{1}$ :

По двум сторонам и углу между ними треугольники равны ( $△ E A G = △ A B A_{1}$ ).

4) Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон:

EG = A A_{1} .

По построению отрезок $A A_{1}$ состоит из двух равных отрезков $A M$ и $M A_{1}$ , поэтому $A A_{1} = 2 \cdot A M$ .

Следовательно:

EG = 2 \cdot A M .

Вывод: Отрезок, соединяющий вершины двух квадратов, в два раза больше медианы треугольника. Что и требовалось доказать.