Номер 538 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

$A BC D$ — параллелограмм.

$O$ — точка пересечения диагоналей ( $A C \cap B D = O$ ).

Доказать:

Точка $O$ является центром симметрии параллелограмма.

Доказательство:

Чертёж к задаче 538 — точка пересечения диагоналей параллелограмма как центр симметрии

1) По свойству параллелограмма, его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно:

A O = OC и BO = O D .

Это означает, что вершины $A$ и $C$ симметричны друг другу относительно точки $O$ . Вершины $B$ и $D$ также симметричны друг другу относительно точки $O$ .

2) Возьмём произвольную точку $M$ на стороне параллелограмма, например, на стороне $A B$ .

Проведём через неё и центр $O$ прямую, которая пересечёт противоположную сторону $C D$ в точке $M_{1}$ .

Докажем, что точка $M_{1}$ симметрична точке $M$ относительно центра $O$ .

3) Рассмотрим образовавшиеся треугольники $A OM$ и $CO M_{1}$ . В них:

$A O = OC$ (доказано в пункте 1);
$∠ A OM = ∠ CO M_{1}$ (как вертикальные углы);
$∠ M A O = ∠ M_{1} CO$ (как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых $A B$ и $C D$ секущей $A C$ ).

По стороне и двум прилежащим к ней углам эти треугольники равны ( $△ A OM = △ CO M_{1}$ ).

4) Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

OM = O M_{1} .

Так как точки $M$ , $O$ и $M_{1}$ лежат на одной прямой, и $OM = O M_{1}$ , точка $M_{1}$ симметрична точке $M$ относительно точки $O$ .

5) Поскольку точка $M$ была выбрана абсолютно произвольно, мы доказали, что для любой точки параллелограмма симметричная ей точка относительно точки $O$ также принадлежит этому параллелограмму.

Вывод: Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма. Что и требовалось доказать.

Номер 538 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели