Номер 757 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№757. В угол, равный $6 0^{\circ}$ , вписаны две окружности, касающиеся друг друга внешним образом. Радиус меньшей окружности равен $r$ . Найдите радиус большей окружности.

Дано:

$∠ A = 6 0^{\circ}$ , в угол вписаны окружности с центрами $O_{1}$ , $O_{2}$

окружности касаются внешним образом, радиусы $r < R$

Найти:

$R$

Чертёж к задаче 757 — угол 60° и две вписанные в него окружности, касающиеся внешним образом

Решение:

Пусть $B_{1}$ и $B_{2}$ — точки касания окружностей с одной стороной угла: $O_{1} B_{1} = r$ , $O_{2} B_{2} = R$ и радиусы перпендикулярны стороне.

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе: прямоугольные треугольники с общей гипотенузой (от вершины до центра) и равными катетами-радиусами равны. Поэтому $∠ B_{1} A O_{1} = ∠ B_{2} A O_{2} = 3 0^{\circ}$ , а катет против угла $3 0^{\circ}$ равен половине гипотенузы:

A O_{1} = 2 r, A O_{2} = 2 R

Центры лежат на биссектрисе, а при внешнем касании расстояние между центрами равно сумме радиусов:

O_{1} O_{2} = A O_{2} - A O_{1} = 2 R - 2 r, O_{1} O_{2} = R + r

2 R - 2 r = R + r \Rightarrow R = 3 r

Ответ: $3 r$ .

Номер 757 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели