Номер 759 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№759. Докажите утверждение 4 из теоремы о взаимном расположении окружностей: если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы радиусов этих окружностей, то окружности не имеют общих точек, причём одна окружность лежит вне другой окружности.

Дано:

окружности с центрами $O_{1}$ , $O_{2}$ и радиусами $R$ , $r$

$O_{1} O_{2} = d > R + r$

Доказать:

окружности не имеют общих точек,

вторая окружность лежит вне первой

Чертёж к задаче 759 — окружности, расстояние между центрами которых больше суммы радиусов, и точка X второй окружности

Доказательство:

Пусть $X$ — любая точка второй окружности, $O_{2} X = r$ . По неравенству треугольника $O_{1} X + X O_{2} \geq O_{1} O_{2}$ (равенство — если $X$ лежит на отрезке $O_{1} O_{2}$ ). Поэтому

O_{1} X \geq O_{1} O_{2} - O_{2} X = d - r > (R + r) - r = R

Каждая точка второй окружности удалена от $O_{1}$ больше чем на $R$ , т. е. является внешней относительно первой окружности. Значит, общих точек нет и вторая окружность лежит вне первой.

Ответ: утверждение доказано.

Номер 759 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели