Номер 761 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Построение:

1) Отрезок $OA$ пересечёт окружность в точке $E$.

2) Построим окружность с центром $O$ радиуса $OA$.

3) Через точку $E$ проведём прямую, перпендикулярную $OA$; она пересечёт построенную окружность в точке $F$.

4) Отрезок $OF$ пересечёт данную окружность в точке $B$. Прямая $AB$ — искомая касательная.

Доказательство:

В треугольниках $OEF$ и $OBA$: $OE=OB=r$, $OF=OA$, угол $O$ — общий. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому $\angle OBA=\angle OEF=90^{\circ }$.

Прямая $AB$ перпендикулярна радиусу $OB$ в его конце $B$: расстояние от центра до прямой равно радиусу, значит, $AB$ — касательная.

Вторая точка пересечения перпендикуляра с большой окружностью даёт вторую касательную, симметричную первой относительно прямой $OA$.