Номер 758 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№758. Докажите утверждение 2 из теоремы о взаимном расположении окружностей: если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме радиусов этих окружностей, то окружности касаются внешним образом.

Дано:

окружности с центрами $O_{1}$ , $O_{2}$ и радиусами $R$ , $r$

$O_{1} O_{2} = d = R + r$

Доказать:

окружности касаются внешним образом

Чертёж к задаче 758 — окружности, центры которых удалены на сумму радиусов, точка касания K и точка X второй окружности

Доказательство:

1) На луче $O_{1} O_{2}$ отложим $O_{1} K = R$ . Так как $R < d$ , точка $K$ лежит между $O_{1}$ и $O_{2}$ и $O_{2} K = d - R = r$ . Значит, $K$ принадлежит обеим окружностям.

2) Пусть $X \neq = K$ — точка второй окружности, $O_{2} X = r$ . Если $X$ не лежит на прямой $O_{1} O_{2}$ , то $O_{1} X + X O_{2} > O_{1} O_{2}$ (неравенство треугольника); если лежит, то это точка по другую сторону от $O_{2}$ и $O_{1} X = d + r$ . В обоих случаях

O_{1} X > O_{1} O_{2} - O_{2} X = (R + r) - r = R

Все точки второй окружности, кроме $K$ , — внешние относительно первой. Окружности имеют единственную общую точку $K$ , а вторая окружность лежит вне первой, т. е. окружности касаются внешним образом.

Ответ: утверждение доказано.

Номер 758 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели