Номер 768 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№768. Центральный угол $A OB$ на $3 0^{\circ}$ больше вписанного угла, опирающегося на дугу $A B$ . Найдите каждый из этих углов.

Дано:

окружность с центром $O$ , $∠ A CB$ — вписанный

$∠ A OB = ∠ A CB + 3 0^{\circ}$

Найти:

$∠ A OB, ∠ A CB$

Решение:

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, а центральный угол равен своей дуге, если она меньше полуокружности.

1 случай: вершина $C$ лежит на большей дуге

Вписанный угол опирается на ту же дугу $A B$ , что и центральный:

∠ A OB = 2∠ A CB \Rightarrow 2 x = x + 3 0^{\circ} \Rightarrow x = 3 0^{\circ}

∠ A CB = 3 0^{\circ}, ∠ A OB = 6 0^{\circ}

2 случай: вершина $C$ лежит на меньшей дуге

Тогда вписанный угол опирается на большую дугу $A B$ , равную $36 0^{\circ} - ∠ A OB$ :

x = \frac{36 0 ^{\circ} - ( x + 3 0 ^{\circ} )}{2} \Rightarrow 2 x = 33 0^{\circ} - x \Rightarrow x = 11 0^{\circ}

∠ A CB = 11 0^{\circ}, ∠ A OB = 14 0^{\circ}

Ответ: $6 0^{\circ}$ и $3 0^{\circ}$ или $14 0^{\circ}$ и $11 0^{\circ}$ .