Учебник «Вероятность и статистика. 7–9 классы», часть 1, с. 133, §35*
№226. Натуральное число называется палиндромом, если оно одинаково читается в обе стороны. Например, числа 343 и 89 398 — палиндромы. Сколько существует:
а) трёхзначных чисел-палиндромов;
б) четырёхзначных чисел-палиндромов;
в) семизначных палиндромов;
г) восьмизначных палиндромов?
Дано:
палиндром — число, одинаково читающееся в обе стороны
Найти:
число палиндромов с 3, 4, 7 и 8 цифрами
У палиндрома вторая половина записи повторяет первую в обратном порядке. Поэтому палиндром полностью определяется первой половиной цифр, а остальные цифры однозначно получаются из неё. Считаем, сколькими способами можно выбрать эту половину, по правилу умножения. Первая цифра не может быть нулём (она же и последняя), поэтому для неё 9 вариантов; каждая из остальных свободных цифр — любая из 10.
| Цифр в числе | Вид палиндрома | Свободные цифры | Сколько | |
|---|---|---|---|---|
| а) | 3 | , | ||
| б) | 4 | , | ||
| в) | 7 | , , , | ||
| г) | 8 | , , , |
а) Трёхзначный палиндром имеет вид : первая цифра (9 способов), средняя (10 способов), последняя совпадает с первой. .
б) Четырёхзначный палиндром : свободны цифры (9 способов) и (10 способов). .
в) Семизначный палиндром : цифры (9 способов), , , (по 10). .
г) Восьмизначный палиндром : свободны (9 способов), , , (по 10). Снова .
Замечание: у семизначных и у восьмизначных палиндромов свободно выбираются первые четыре цифры, остальные их повторяют, поэтому и вариантов поровну; то же самое для трёхзначных и четырёхзначных палиндромов — свободны первые две цифры.
Ответ: а) 90; б) 90; в) 9000; г) 9000.
