Номер 136, часть 2 — ГДЗ Вероятность и статистика 8 класс Высоцкий, Ященко

Учебник «Вероятность и статистика. 7–9 классы», часть 2, с. 47, §57

№136. Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не собьёт её. Рассмотрим события $A$ «стрелку потребовалось не более трёх выстрелов» и $B$ «стрелку потребовалось не более пяти выстрелов». Являются ли события $A$ и $B$ независимыми?

✎ Запись в тетрадь

Дано:

A

: не более 3 выстрелов;

B

: не более 5

Найти:

независимы ли

A

B

Если потребовалось не более 3 выстрелов, то и не более 5:

A \subset B

Значит,

A \cap B = A

P (A \cap B) = P (A)

Если бы события были независимы:

P (A) = P (A) \cdot P (B)

Тогда

P (B) = 1

— но возможны 6 и более выстрелов,

P (B) < 1

Равенства нет — события зависимы.3

Ответ: нет, события зависимы.

Пояснение

Идея. Если одно событие целиком входит в другое, то их пересечение совпадает с меньшим событием. Независимость при этом возможна только в вырожденном случае, когда большее событие достоверно.

1Чтобы потребовалось не больше трёх выстрелов, нужно попасть с первого, второго или третьего раза. Тогда и «не более пяти» заведомо выполнено: $A \subset B$ .
2Из включения следует, что пересечение $A \cap B$ равно $A$ , то есть $P (A \cap B) = P (A)$ .
3Подставляем в определение независимости (§57). После сокращения на $P (A)$ получается $P (B) = 1$ . Но стрелок может промахнуться пять раз, и тогда событие $B$ не наступит, значит, $P (B) < 1$ . Равенство неверно, события зависимы.

Частая ошибка. Входящие друг в друга события независимыми почти никогда не бывают: если произошло меньшее, большее наступило наверняка.

Номер 136, часть 2 — ГДЗ Вероятность и статистика 8 класс Высоцкий, Ященко

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели