Номер 1001 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Доказательство:

Докажем от противного. Пусть векторы коллинеарны, тогда $\vec{p}=k\vec{q}$.

Т.к. $\vec{a}$и $\vec{b}$не коллинеарны, равенство $\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}=\vec{0}$верно лишь при $\alpha =0,\beta =0$.

а) Пусть $\vec{a}+\vec{b}=k(\vec{a}-\vec{b})$. Перенесём всё в левую часть:

Отсюда $1-k=0$ и $1+k=0\Rightarrow k=1$ и $k=-1$.

Противоречие! $\Rightarrow$ Не коллинеарны.

б) Пусть $2\vec{a}-\vec{b}=k(\vec{a}+\vec{b})$. Аналогично:

Отсюда $2-k=0$ и $-1-k=0\Rightarrow k=2$ и $k=-1$.

Противоречие! $\Rightarrow$ Не коллинеарны.

в) Пусть $\vec{a}+\vec{b}=k(\vec{a}+3\vec{b})$:

Отсюда $1-k=0$ и $1-3k=0\Rightarrow k=1$ и $k=\frac{1}{3}$.

Противоречие! $\Rightarrow$ Не коллинеарны.