Номер 1014 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Решение:

1. Прямое утверждение: Если $\vec{a}\parallel \vec{b}$, то $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$.

Доказательство:

1. Так как векторы коллинеарны ($\vec{a}\parallel \vec{b}$), то по определению существует такое число $k$, что $\vec{a}=k\vec{b}$.
2. Отсюда следует равенство их координат: $x_1=k{x}_2$ и $y_1=k{y}_2$.
3. Выразим $k$ из обоих уравнений: $k=\frac{x_1}{x_2}$ и $k=\frac{y_1}{y_2}$.
4. Следовательно, $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$, что и требовалось доказать.

2. Обратное утверждение: Если $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$, то $\vec{a}\parallel \vec{b}$.

Доказательство:

1. Пусть отношение соответствующих координат равно некоторому числу $k$: $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=k$.
2. Тогда можно записать: $x_1=k{x}_2$ и $y_1=k{y}_2$.
3. Это означает, что вектор $\vec{a}\{x_1;y_1\}$ можно представить как $\vec{a}\{k{x}_2;k{y}_2\}$, то есть $\vec{a}=k\vec{b}$.
4. По определению это значит, что векторы $\vec{a}$и $\vec{b}$коллинеарны ($\vec{a}\parallel \vec{b}$), что и требовалось доказать.