№1069. Даны две точки и . Найдите множество всех точек, для каждой из которых расстояние от точки в раза больше расстояния от точки .
Решение:
Для решения задачи применим метод координат. Введём прямоугольную систему координат так, чтобы точка совпадала с началом координат, а точка лежала на положительной полуоси . Пусть расстояние между точками и равно . Тогда координаты точек будут:
Пусть — произвольная точка искомого множества. По условию задачи расстояние от до в два раза больше расстояния от до :
Выразим расстояния и через координаты по формуле расстояния между двумя точками:
Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:
Перенесём все слагаемые в правую часть и приведём подобные:
Разделим уравнение на :
Сгруппируем слагаемые с переменной и выделим полный квадрат:
Полученное уравнение имеет вид , что является уравнением окружности.
Ответ: искомое множество точек — это окружность с центром в точке и радиусом , где — расстояние между точками и . (Такая кривая называется окружностью Аполлония).
