Номер 1074 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Поместим начало прямоугольной системы координат в вершину $A$ прямоугольника. Сторону $AB$ направим вдоль положительной полуоси $OX$, а сторону $AD$ — вдоль положительной полуоси $OY$. Обозначим длины сторон: $AB=a$, $AD=b$. Тогда вершины прямоугольника будут иметь следующие координаты:

Пусть $M(x;y)$ — произвольная точка искомого множества. Выразим квадраты расстояний от точки $M$ до вершин прямоугольника, используя формулу расстояния между двумя точками:

Найдём суммы $A{M}^2+D{M}^2$ и $B{M}^2+C{M}^2$:

Подставим полученные суммы в исходное уравнение $(A{M}^2+D{M}^2)-(B{M}^2+C{M}^2)=2A{B}^2$. Так как $AB=a$, то $2A{B}^2=2a^2$:

Слагаемые $y^2$ и $(y-b{)}^2$ взаимно уничтожаются:

Разделим обе части уравнения на $2$:

Раскроем скобки (квадрат разности):

Так как $a>0$ (длина стороны прямоугольника не может быть равна нулю), разделим обе части на $2a$:

На координатной плоскости уравнение $x=a$ задаёт прямую, параллельную оси ординат ($OY$) и проходящую через точку с абсциссой $a$. В нашей системе координат на этой прямой лежат вершины $B(a;0)$ и $C(a;b)$. Следовательно, эта прямая содержит сторону $BC$ прямоугольника.