Номер 1073 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Решение:

Воспользуемся методом координат. Введём декартову систему координат так, чтобы точка $A$ совпадала с началом координат, а отрезок $A B$ лежал на положительной полуоси абсцисс. Обозначим длину отрезка $A B$ за $c$ . Тогда координаты точек $A$ и $B$ будут:

A (0; 0), B (c; 0)

Пусть $M (x; y)$ — произвольная точка плоскости, удовлетворяющая условию. По формуле расстояния между двумя точками выразим квадраты расстояний от точки $M$ до точек $A$ и $B$ :

A M^{2} = (x - 0)^{2} + (y - 0)^{2} = x^{2} + y^{2}

B M^{2} = (x - c)^{2} + (y - 0)^{2} = (x - c)^{2} + y^{2}

Так как $A B = c$ , то $A B^{2} = c^{2}$ . Подставим эти выражения в исходное уравнение $B M^{2} - A M^{2} = 2 A B^{2}$ :

((x - c)^{2} + y^{2}) - (x^{2} + y^{2}) = 2 c^{2}

Раскроем скобки с помощью формулы квадрата разности:

(x^{2} - 2 c x + c^{2} + y^{2}) - x^{2} - y^{2} = 2 c^{2}

Приведём подобные слагаемые. Слагаемые $x^{2}$ и $y^{2}$ взаимно уничтожаются, остаётся:

- 2 c x + c^{2} = 2 c^{2}

- 2 c x = 2 c^{2} - c^{2}

- 2 c x = c^{2}

Так как $c$ не равно нулю (поскольку $A$ и $B$ — две различные точки), разделим обе части на $- 2 c$ :

x = - \frac{c}{2}

Уравнение вида $x = const$ задаёт на плоскости прямую, перпендикулярную оси абсцисс (прямой $A B$ ). Так как $x = - \frac{c}{2}$ отрицательно, эта прямая проходит левее точки $A (0; 0)$ на расстоянии, равном половине отрезка $A B$ .

Чертёж к задаче 1073 — прямая, перпендикулярная отрезку AB

Ответ: искомое множество точек — это прямая, перпендикулярная прямой $A B$ и пересекающая её в такой точке $C$ (лежащей на луче $B A$ за точкой $A$ ), что $A C = \frac{1}{2} A B$ .

Номер 1073 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели