Номер 1070 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введём прямоугольную систему координат так, чтобы точка $B$ (середина отрезка $AC$) совпадала с началом координат. Ось абсцисс направим вдоль отрезка $AC$. Так как длина отрезка $AC=2$, то длины отрезков $AB$ и $BC$ равны $1$. Следовательно, координаты заданных точек:

Пусть $M(x;y)$ — произвольная точка искомого множества. Выразим квадраты расстояний от точки $M$ до точек $A$, $B$ и $C$ по формуле расстояния между двумя точками:

а) $A{M}^2+B{M}^2+C{M}^2=50$

Подставим найденные выражения для квадратов расстояний в заданное равенство:

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и разности, и приведём подобные слагаемые:

Разделим обе части уравнения на $3$:

Получено уравнение окружности с центром в начале координат (точка $B$) и радиусом $R=4$.

б) $A{M}^2+2B{M}^2+3C{M}^2=4$

Снова подставим выражения квадратов расстояний, учитывая новые коэффициенты:

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

Разделим обе части на $6$:

Выделим полный квадрат для переменной $x$, прибавив и вычтя ${\left(\frac{1}{3}\right)}^2$ (то есть $\frac{1}{9}$):

Получено уравнение окружности с центром в точке $\left(\frac{1}{3};0\right)$ и радиусом $R=\frac{1}{3}$.