Номер 1071 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Решение:

Воспользуемся методом координат. Выберем систему координат так, чтобы её начало (точка $O(0;0)$) совпадало с серединой отрезка $AB$, а сам отрезок лежал на оси абсцисс ($OX$). Обозначим половину длины отрезка $AB$ за $a$ (т.е. $AB=2a$). Тогда координаты точек будут:

Пусть $M(x;y)$ — произвольная точка искомого множества. Запишем квадраты расстояний от точки $M$ до точек $A$ и $B$ по формуле:

Подставим эти выражения в исходное условие $A{M}^2+B{M}^2=k^2$:

Раскроем скобки (квадраты суммы и разности):

Слагаемые $2ax$ и $-2ax$ взаимно уничтожаются. Приведём подобные:

Разделим обе части уравнения на $2$:

Это уравнение вида $x^2+y^2=R^2$ (окружность с центром в начале координат). Проанализируем правую часть уравнения, так как квадрат радиуса не может быть отрицательным числом:

• 1) Если $k^2>2a^2$, то правая часть положительна. Искомое множество — это окружность с центром в середине отрезка $AB$ (точке $O$) и радиусом $R=\sqrt{\frac{k^2-2a^2}{2}}$.
• 2) Если $k^2=2a^2$, то уравнение принимает вид $x^2+y^2=0$. Это означает, что $x=0$ и $y=0$. Искомое множество — одна точка (середина отрезка $AB$).
• 3) Если $k^2<2a^2$, то правая часть отрицательна, что невозможно (сумма квадратов не может быть отрицательной). В этом случае искомое множество пусто (таких точек не существует).