№1072. Даны две точки и . Найдите множество всех точек , для каждой из которых , где — данное число.
Решение:
Воспользуемся методом координат. Выберем систему координат так, чтобы её начало (точка ) совпадало с серединой отрезка , а сам отрезок лежал на оси абсцисс (). Пусть длина отрезка равна . Тогда координаты данных точек будут:
Пусть — произвольная точка искомого множества. Запишем квадраты расстояний от точки до точек и :
Подставим эти выражения в исходное уравнение :
Раскроем скобки (квадраты суммы и разности) и приведём подобные слагаемые:
Квадраты переменных , и константа взаимно уничтожаются, остаётся:
Так как и — фиксированные числа, то является некоторой константой . Уравнение задаёт на координатной плоскости прямую, которая параллельна оси ординат (), а значит, перпендикулярна оси абсцисс (на которой лежит отрезок ).
В частности, если , то — это уравнение серединного перпендикуляра к отрезку (ось ординат).
Ответ: искомое множество представляет собой прямую, перпендикулярную прямой .
