Номер 1075 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Решение:

Воспользуемся методом координат. Введём прямоугольную систему координат так, чтобы её начало $O(0;0)$ совпадало с точкой пересечения диагоналей ромба, а оси координат были направлены вдоль самих диагоналей. Поскольку диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, длины отрезков от начала координат до вершин будут равны $a$ и $b$ соответственно. Координаты вершин ромба:

Пусть $M(x;y)$ — произвольная точка искомого множества. Запишем квадраты расстояний от точки $M$ до вершин ромба:

Подставим эти выражения в исходное равенство $A{M}^2+D{M}^2=B{M}^2+C{M}^2$:

Слагаемые $x^2$ и $y^2$ (стоящие вне скобок) сокращаются в обеих частях уравнения. Раскроем оставшиеся скобки по формулам квадрата суммы и разности:

Перенесём все слагаемые в левую часть. Квадраты переменных ($x^2$, $y^2$) и констант ($a^2$, $b^2$) взаимно уничтожаются:

Разделим уравнение на $4$:

Полученное уравнение задаёт прямую на координатной плоскости. Так как свободный член равен нулю, эта прямая проходит через начало координат (точку $O$).
Из уравнения $ax+by=0$ можно выделить вектор нормали (перпендикулярный этой прямой) — это вектор $\vec{n}\{a;b\}$.

Теперь найдём координаты вектора стороны ромба, например, $\overrightarrow{AB}$:

Так как координаты вектора нормали $\vec{n}$и вектора $\overrightarrow{AB}$полностью совпадают, прямая $ax+by=0$ перпендикулярна вектору $\overrightarrow{AB}$(а значит, перпендикулярна стороне ромба $AB$). Из-за параллельности противоположных сторон, эта прямая также перпендикулярна и стороне $CD$.