Номер 1148 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№1148. Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Дано:

$A BC D$ — выпуклый четырёхугольник, $A C \cap B D = O$ , $∠ A OB = α$

Доказать:

$S = \frac{1}{2} A C \cdot B D sin α$

Решение:

1) S = S_{A OB} + S_{BOC} + S_{CO D} + S_{A O D}

2) ∠ A OB = ∠ CO D = α, ∠ BOC = ∠ A O D = 18 0^{\circ} - α

3) S_{A OB} = \frac{1}{2} O A \cdot OB sin α

S_{BOC} = \frac{1}{2} OB \cdot OC sin (18 0^{\circ} - α) = \frac{1}{2} OB \cdot OC sin α

S_{CO D} = \frac{1}{2} OC \cdot O D sin α

S_{A O D} = \frac{1}{2} O A \cdot O D sin (18 0^{\circ} - α) = \frac{1}{2} O A \cdot O D sin α

4) S = \frac{1}{2} sin α (O A \cdot OB + OB \cdot OC + OC \cdot O D + O A \cdot O D) =

= \frac{1}{2} sin α (OB (O A + OC) + O D (OC + O A)) =

= \frac{1}{2} sin α (O A + OC) (OB + O D) = \frac{1}{2} A C \cdot B D sin α

Ответ: что и требовалось доказать.