Номер 1143 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№1143. Докажите, что если $A M$ — медиана треугольника $A BC$ , то $4 A M^{2} = A B^{2} + A C^{2} + 2 A B \cdot A C \cdot cos A$ . Пользуясь этой формулой, докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны.

Дано:

$△ A BC$ , $A M$ — медиана;
$△ A BC$ , $A B = A C$ , $B B_{1}$ и $C C_{1}$ — медианы

Доказать:

$4 A M^{2} = A B^{2} + A C^{2} + 2 A B \cdot A C \cdot cos A$ ;
$B B_{1} = C C_{1}$

Решение:

1) Формула медианы

Чертёж к задаче 1143 — треугольник ABC с медианой AM и векторами AB, AC, AM

A M = \frac{1}{2} (A B + A C) ⟹ 2 A M = A B + A C

(2 A M)^{2} = (A B + A C)^{2} =

= A B^{2} + A C^{2} + 2 A B \cdot A C

x^{2} = ∣ x ∣^{2}, x \cdot y = ∣ x ∣ ∣ y ∣ cos ∠ (x, y)

4 A M^{2} = A B^{2} + A C^{2} + 2 A B \cdot A C \cdot cos A

2) Медианы равнобедренного треугольника

Чертёж к задаче 1143 — равнобедренный треугольник ABC с медианами BB₁ и CC₁

4 B B_{1}^{2} = B A^{2} + B C^{2} + 2 \cdot B A \cdot BC \cdot cos B

4 C C_{1}^{2} = C A^{2} + C B^{2} + 2 \cdot C A \cdot CB \cdot cos C

A B = A C, BC = CB, ∠ B = ∠ C

Правые части равны, значит:

4 B B_{1}^{2} = 4 C C_{1}^{2} ⟹ B B_{1} = C C_{1}

Ответ: что и требовалось доказать.

Номер 1143 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели