Номер 1245 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Дано:

движение, при котором четырёхугольник $A BC D$ отображается на $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ (задача 1243)

а) $A BC D$ — параллелограмм

б) $A BC D$ — трапеция

в) $A BC D$ — ромб

г) $A BC D$ — прямоугольник (квадрат)

Доказать:

а) $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ — параллелограмм

б) $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ — трапеция

в) $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ — ромб

г) $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ — прямоугольник (квадрат)

Чертёж к задаче 1245 — параллелограмм ABCD и его образ A1B1C1D1 при движении

Чертёж к задаче 1245 — трапеция ABCD и её образ A1B1C1D1 при движении

Чертёж к задаче 1245 — ромб ABCD и его образ A1B1C1D1 при движении

Чертёж к задаче 1245 — прямоугольник ABCD и его образ A1B1C1D1 при движении

Что нам известно о движении:

• четырёхугольник отображается на четырёхугольник, стороны — на стороны (задача 1243);

• параллельные прямые отображаются на параллельные прямые (задача 1244);

• длины отрезков сохраняются, угол отображается на равный ему угол (п. 123, задача 1242).

Доказательство:

а) Пусть $A BC D$ — параллелограмм: $A B ∥ C D$ и $BC ∥ A D$ . Прямая отображается на прямую, поэтому образами прямых $A B$ , $C D$ , $BC$ , $A D$ служат прямые $A_{1} B_{1}$ , $C_{1} D_{1}$ , $B_{1} C_{1}$ , $A_{1} D_{1}$ . По задаче 1244 $A_{1} B_{1} ∥ C_{1} D_{1}$ и $B_{1} C_{1} ∥ A_{1} D_{1}$ . Значит, $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ — параллелограмм.

б) Пусть $A BC D$ — трапеция с основаниями $BC$ и $A D$ . По задаче 1244 $B_{1} C_{1} ∥ A_{1} D_{1}$ . Боковые стороны $A B$ и $C D$ не параллельны, поэтому прямые $A B$ и $C D$ пересекаются в некоторой точке $O$ . Образ $O_{1}$ точки $O$ лежит и на прямой $A_{1} B_{1}$ , и на прямой $C_{1} D_{1}$ . Эти прямые различны (никакие три вершины четырёхугольника не лежат на одной прямой) и имеют общую точку, значит, они не параллельны. Итак, у четырёхугольника $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ одна пара противоположных сторон параллельна, а другая нет, — это трапеция.

в) Ромб — параллелограмм, у которого смежные стороны равны: $A B = BC$ . По пункту а) $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ — параллелограмм. Движение сохраняет расстояния, поэтому $A_{1} B_{1} = A B = BC = B_{1} C_{1}$ . Параллелограмм с равными смежными сторонами — ромб.

г) Прямоугольник — параллелограмм с прямым углом $A$ . По пункту а) $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ — параллелограмм. Угол отображается на равный ему угол, поэтому $∠ A_{1} = ∠ A = 9 0^{\circ}$ . Параллелограмм с прямым углом — прямоугольник.

Если $A BC D$ — квадрат, то $A B = A D$ . Тогда $A_{1} B_{1} = A B = A D = A_{1} D_{1}$ : образ — прямоугольник с равными смежными сторонами, то есть квадрат.

Ответ: что и требовалось доказать.

Номер 1245 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели