Номер 1258 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Анализ:

При параллельном переносе на вектор $\overrightarrow{M{M}_1}$ каждая точка $X$ отображается в такую точку $X_1$, что $\overrightarrow{X{X}_1}=\overrightarrow{M{M}_1}$ (п. 125). Перенос — движение, поэтому отрезок $AB$ отображается на отрезок с концами в образах точек $A$ и $B$.

Построение:

1) Через точку $A$ проведём прямую, параллельную $M{M}_1$, и отложим на ней от точки $A$ в направлении вектора $\overrightarrow{M{M}_1}$ отрезок $A{A}_1=M{M}_1$.

2) Так же построим точку $B_1$: $B{B}_1\parallel M{M}_1$, $B{B}_1=M{M}_1$, направление то же.

3) Соединим точки $A_1$ и $B_1$. Отрезок $A_1{B}_1$ искомый.

Доказательство:

По построению $\overrightarrow{A{A}_1}=\overrightarrow{B{B}_1}=\overrightarrow{M{M}_1}$, то есть при переносе на вектор $\overrightarrow{M{M}_1}$ точки $A$ и $B$ отображаются в $A_1$ и $B_1$. Перенос — движение, а при движении отрезок отображается на отрезок. Значит, образ отрезка $AB$ — отрезок $A_1{B}_1$. Кроме того, $A{A}_1{B}_{1}B$ — параллелограмм, поэтому $A_1{B}_1=AB$ и $A_1{B}_1\parallel AB$.