Номер 1387 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№1387. Точка $O$ не лежит на данной окружности. Для каждой точки $M_{1}$ окружности на луче $O M_{1}$ взята такая точка $M$ , что $OM = k \cdot O M_{1}$ , где $k$ — данное положительное число. Найдите множество всех точек $M$ .

Дано:

окружность $ω (C; R)$ , $O \in / ω$ , $k > 0$

$M_{1} \in ω$ , $M$ на луче $O M_{1}$ , $OM = k \cdot O M_{1}$

Найти:

множество точек $M$

Решение:

Чертёж к задаче 1387 — точка O, данная окружность с центром C и точкой M1, луч OM1 и точка M на большей окружности с центром C'

1) Введём систему координат с началом в точке $O$ . Пусть данная окружность имеет центр $C (a; b)$ :

(x_{1} - a)^{2} + (y_{1} - b)^{2} = R^{2}

Так как $O$ не лежит на окружности, $M_{1} \neq = O$ и луч $O M_{1}$ определён.

2) $M$ лежит на луче $O M_{1}$ и $OM = k \cdot O M_{1}$ , значит, $OM = k O M_{1}$ : $x = k x_{1}$ , $y = k y_{1}$ . Подставим $x_{1} = \frac{x}{k}$ , $y_{1} = \frac{y}{k}$ :

(\frac{x}{k} - a)^{2} + (\frac{y}{k} - b)^{2} = R^{2} \Leftrightarrow (x - ka)^{2} + (y - kb)^{2} = (k R)^{2}

3) Обратно, если $M (x; y)$ удовлетворяет последнему уравнению, то точка $M_{1} (\frac{x}{k}; \frac{y}{k})$ лежит на данной окружности, $OM = k O M_{1}$ с $k > 0$ , то есть $M$ лежит на луче $O M_{1}$ и $OM = k \cdot O M_{1}$ .

Итак, искомое множество — окружность радиуса $k R$ с центром $C^{'} (ka; kb)$ , $O C^{'} = k OC$ . Иначе говоря, это образ данной окружности при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k$ .

Ответ: окружность радиуса $k R$ ( $R$ — радиус данной окружности) с центром $C^{'}$ , где $O C^{'} = k OC$ .

Номер 1387 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели