Номер 1386 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Дано:

прямая $a$ , $A \in / a$ , $k > 0$

$M_{1} \in a$ , $M$ на луче $A M_{1}$ , $A M_{1} \cdot A M = k$

Найти:

множество точек $M$

Решение:

Чертёж к задаче 1386 — прямая a, точка A под ней, лучи AM1 и точки M на окружности, проходящей через A

1) Введём систему координат с началом в точке $A$ и осью $O x$ , параллельной $a$ ; тогда $A (0; 0)$ , прямая $a$ задаётся уравнением $y = h$ ( $h > 0$ — расстояние от $A$ до $a$ ).

2) Пусть $M_{1} (t; h)$ . Точка $M$ лежит на луче $A M_{1}$ , поэтому $A M = μ A M_{1}$ с $μ > 0$ , и $A M_{1} \cdot A M = μ A M_{1}^{2} = k$ , откуда $μ = \frac{k}{t ^{2} + h ^{2}}$ :

x = \frac{k t}{t ^{2} + h ^{2}}, y = \frac{kh}{t ^{2} + h ^{2}}

3) Тогда

x^{2} + y^{2} = \frac{k ^{2} ( t ^{2} + h ^{2} )}{( t ^{2} + h ^{2} ) ^{2}} = \frac{k ^{2}}{t ^{2} + h ^{2}} = \frac{k}{h} y

x^{2} + (y - \frac{k}{2 h})^{2} = (\frac{k}{2 h})^{2}

Все точки $M$ лежат на окружности с центром $(0; \frac{k}{2 h})$ и радиусом $\frac{k}{2 h}$ . Она проходит через $A$ , но сама точка $A$ не получается: у неё $y = 0$ , а у всех точек $M$ $y > 0$ .

4) Обратно, пусть $M (x; y)$ — точка этой окружности, отличная от $A$ . Тогда $y > 0$ (при $y = 0$ из уравнения $x = 0$ ). Возьмём $t = \frac{h x}{y}$ , то есть $M_{1} (t; h)$ — точку пересечения луча $A M$ с прямой $a$ . Тогда

t^{2} + h^{2} = \frac{h ^{2} ( x ^{2} + y ^{2} )}{y ^{2}} = \frac{h ^{2} \cdot \frac{k}{h} y}{y ^{2}} = \frac{kh}{y} \Rightarrow \frac{kh}{t ^{2} + h ^{2}} = y, \frac{k t}{t ^{2} + h ^{2}} = x

то есть точка $M$ получается из $M_{1}$ по правилу задачи. Значит, искомое множество — окружность без точки $A$ .

Ответ: окружность, проходящая через точку $A$ (центр на перпендикуляре из $A$ к $a$ , радиус $\frac{k}{2 h}$ , $h$ — расстояние от $A$ до $a$ ), без самой точки $A$ .

Номер 1386 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели