Номер 1391 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Доказательство:

Используем две известные формулы: площадь треугольника $\frac{1}{2}xy\sin \alpha \le \frac{1}{2}xy$ ($\sin \alpha \le 1$), и то, что у любого четырёхугольника хотя бы одна диагональ лежит внутри него. Выражение $ac+bd$ не меняется при циклической перестановке сторон, поэтому можно считать, что внутренняя диагональ — $AC$: $B$ и $D$ лежат по разные стороны от прямой $AC$ и $S=S_{ABC}+S_{ACD}$.

1) Пусть $D^{\prime }$ — точка, симметричная $D$ относительно серединного перпендикуляра к $AC$. Эта симметрия меняет местами $A$ и $C$, поэтому

Ось симметрии перпендикулярна $AC$, поэтому $D^{\prime }$ лежит по ту же сторону от $AC$, что и $D$. Получаем четырёхугольник $ABC{D}^{\prime }$ со сторонами $a$, $b$, $d$, $c$, внутренней диагональю $AC$ и той же площадью:

2) Если $ABC{D}^{\prime }$ выпуклый, его делит диагональ $B{D}^{\prime }$ (она соединяет общий конец сторон $a=AB$ и $c=A{D}^{\prime }$ с общим концом сторон $b=CB$ и $d=C{D}^{\prime }$):

3) Если $ABC{D}^{\prime }$ невыпуклый, то его угол больше $180^{\circ }$ — при вершине $A$ или $C$ (из этой вершины идёт внутренняя диагональ $AC$). Пусть, например, при $C$: тогда $C$ лежит внутри треугольника $AB{D}^{\prime }$ и

Случай вершины $A$ аналогичен ($S<S_{CB{D}^{\prime }}\le \frac{1}{2}bd$). Во всех случаях $S\le \frac{1}{2}(ac+bd)$, что и требовалось доказать.