Номер 1384 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№1384. Найдите точки пересечения двух окружностей, заданных уравнениями $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 4$ и $x^{2} + y^{2} = 1$ , и вычислите длину их общей хорды.

Дано:

$(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 4$

$x^{2} + y^{2} = 1$

Найти:

точки пересечения $P$ , $Q$ ; $PQ$

Решение:

Чертёж к задаче 1384 — единичная окружность и окружность с центром (1; 2) радиуса 2, их общая хорда

1) Координаты общих точек удовлетворяют обоим уравнениям. Раскроем скобки в первом:

x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 5 = 4

Подставим $x^{2} + y^{2} = 1$ :

1 - 2 x - 4 y + 5 = 4 \Rightarrow x + 2 y = 1 \Rightarrow x = 1 - 2 y

2) Подставим во второе уравнение:

(1 - 2 y)^{2} + y^{2} = 1 \Rightarrow 5 y^{2} - 4 y = 0 \Rightarrow y (5 y - 4) = 0

y_{1} = 0, x_{1} = 1; y_{2} = 0, 8, x_{2} = 1 - 1, 6 = - 0, 6

Проверка в первом уравнении: $(1 - 1)^{2} + (0 - 2)^{2} = 4$ ; $(- 1, 6)^{2} + (- 1, 2)^{2} = 2, 56 + 1, 44 = 4$ .

3) Длина общей хорды:

PQ = (1 + 0, 6)^{2} + (0 - 0, 8)^{2} = 2, 56 + 0, 64 = 3, 2 = \frac{16}{5} = \frac{4}{5} = \frac{4 5}{5}

Ответ: $(1; 0)$ и $(- 0, 6; 0, 8)$ ; длина общей хорды $\frac{4 5}{5}$ .

Номер 1384 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели