Номер 1389 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№1389. На сторонах квадрата $MNPQ$ взяты точки $A$ и $B$ так, что $N A = \frac{1}{2} MN$ , $QB = \frac{1}{3} MN$ (рис. 421). Докажите, что $∠ A MB = 4 5^{\circ}$ .

Дано:

$MNPQ$ — квадрат, $A \in NP$ , $B \in PQ$

$N A = \frac{1}{2} MN$ , $QB = \frac{1}{3} MN$

Доказать:

$∠ A MB = 4 5^{\circ}$

Доказательство:

Чертёж к задаче 1389 — квадрат MNPQ, точка A — середина NP, точка B на PQ, угол AMB

Положим $MN = a$ . Тогда $N A = A P = \frac{a}{2}$ , $QB = \frac{a}{3}$ , $PB = \frac{2 a}{3}$ .

1) Площадь треугольника $A MB$ — площадь квадрата без трёх прямоугольных треугольников $MN A$ , $A PB$ , $MQB$ :

S_{A MB} = a^{2} - \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{2 a}{3} - \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{3} = a^{2} - \frac{a ^{2}}{4} - \frac{a ^{2}}{6} - \frac{a ^{2}}{6} = \frac{5 a ^{2}}{12}

2) По теореме Пифагора из треугольников $MN A$ и $MQB$ :

A M = a^{2} + \frac{a ^{2}}{4} = \frac{a 5}{2}, BM = a^{2} + \frac{a ^{2}}{9} = \frac{a 10}{3}

3) С другой стороны, $S_{A MB} = \frac{1}{2} A M \cdot BM \cdot sin ∠ A MB$ :

\frac{5 a ^{2}}{12} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a 5}{2} \cdot \frac{a 10}{3} \cdot sin ∠ A MB = \frac{5 2 a ^{2}}{12} sin ∠ A MB

sin ∠ A MB = \frac{1}{2} = \frac{2}{2}

4) Синус равен $\frac{2}{2}$ у углов $4 5^{\circ}$ и $13 5^{\circ}$ . Угол $A MB$ составляет часть прямого угла $NMQ$ , поэтому он острый и $∠ A MB = 4 5^{\circ}$ , что и требовалось доказать.

Вывод: $∠ A MB = 4 5^{\circ}$ .

Номер 1389 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели