Номер 1393 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Дано:

$A BC D$ вписан в окружность

$A B = a$ , $BC = b$ , $C D = c$ , $D A = d$

Найти:

$A C = m$ , $B D = n$

Решение:

Чертёж к задаче 1393 — четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность, его стороны a, b, c, d и диагонали m и n

Во вписанном четырёхугольнике суммы противоположных углов равны $18 0^{\circ}$ : $∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}$ , поэтому $cos D = - cos B$ ; так же $cos C = - cos A$ .

1) Диагональ $A C = m$ . Теорема косинусов в треугольниках $A BC$ и $A C D$ :

m^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos B, m^{2} = c^{2} + d^{2} - 2 c d cos D = c^{2} + d^{2} + 2 c d cos B

Приравняем и найдём $cos B$ :

cos B = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2} - d ^{2}}{2 ( ab + c d )}

Подставим в первое равенство:

m^{2} = a^{2} + b^{2} - \frac{ab ( a ^{2} + b ^{2} - c ^{2} - d ^{2} )}{ab + c d} = \frac{( a ^{2} + b ^{2} ) c d + ab ( c ^{2} + d ^{2} )}{ab + c d}

Числитель раскладывается на множители: $a^{2} c d + b^{2} c d + ab c^{2} + ab d^{2} = a c (a d + b c) + b d (b c + a d) = (a c + b d) (a d + b c)$ . Итак,

A C = \frac{( a c + b d ) ( a d + b c )}{ab + c d}

2) Диагональ $B D = n$ — из треугольников $A B D$ и $CB D$ ( $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$ ):

n^{2} = a^{2} + d^{2} - 2 a d cos A = b^{2} + c^{2} + 2 b c cos A \Rightarrow cos A = \frac{a ^{2} + d ^{2} - b ^{2} - c ^{2}}{2 ( a d + b c )}

n^{2} = \frac{( a ^{2} + d ^{2} ) b c + a d ( b ^{2} + c ^{2} )}{a d + b c} = \frac{( a c + b d ) ( ab + c d )}{a d + b c}

B D = \frac{( a c + b d ) ( ab + c d )}{a d + b c}

Проверка на квадрате со стороной $a$ : $A C^{2} = \frac{2 a ^{2} \cdot 2 a ^{2}}{2 a ^{2}} = 2 a^{2}$ , $A C = a 2$ — верно. Заодно получилось $A C \cdot B D = a c + b d$ (теорема Птолемея).

Замечание. В ответе учебника в знаменателе формулы для $B D$ напечатано $a d - b c$ ; верно $a d + b c$ (иначе для квадрата знаменатель равен нулю).

Ответ: $A C = \frac{( a c + b d ) ( a d + b c )}{ab + c d}$ , $B D = \frac{( a c + b d ) ( ab + c d )}{a d + b c}$ , где $a = A B$ , $b = BC$ , $c = C D$ , $d = D A$ .

Номер 1393 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели