Номер 1383 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Дано:

а) $A x + B y + C = 0$ , $A^{2} + B^{2} \neq = 0$ ; б) $x^{2} - x y - 2 = 0$

Доказать:

а) это уравнение прямой; б) это не уравнение окружности

Доказательство:

а) Пусть $L$ — множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению. Оно не пусто: если $B \neq = 0$ , то подходит точка $(0; - \frac{C}{B})$ , если $B = 0$ (тогда $A \neq = 0$ ), — точка $(- \frac{C}{A}; 0)$ . Пусть $M_{0} (x_{0}; y_{0}) \in L$ , то есть

A x_{0} + B y_{0} + C = 0 \Rightarrow C = - A x_{0} - B y_{0}

Чертёж к задаче 1383 — прямая L, точка M0 на ней и симметричные относительно неё точки M1 и M2

Возьмём точки $M_{1} (x_{0} - A; y_{0} - B)$ и $M_{2} (x_{0} + A; y_{0} + B)$ ; они различны, так как $A$ и $B$ не равны нулю одновременно. Точка $M (x; y)$ лежит на серединном перпендикуляре к $M_{1} M_{2}$ тогда и только тогда, когда $M M_{1}^{2} = M M_{2}^{2}$ :

(x - x_{0} + A)^{2} + (y - y_{0} + B)^{2} = (x - x_{0} - A)^{2} + (y - y_{0} - B)^{2}

Раскроем скобки по формуле $(u + A)^{2} - (u - A)^{2} = 4 u A$ :

4 A (x - x_{0}) + 4 B (y - y_{0}) = 0 \Leftrightarrow A x + B y - A x_{0} - B y_{0} = 0 \Leftrightarrow A x + B y + C = 0

Итак, уравнение $A x + B y + C = 0$ задаёт в точности серединный перпендикуляр к отрезку $M_{1} M_{2}$ , то есть прямую, что и требовалось доказать.

б) Уравнение любой окружности $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ не содержит члена вида $k x y$ с $k \neq = 0$ , а данное уравнение содержит $- x y$ . Но разные уравнения могут задавать одну линию, поэтому докажем строго, что линия $x^{2} - x y - 2 = 0$ — не окружность.

Чертёж к задаче 1383 — график линии x в квадрате минус x y минус 2 равно 0 — две неограниченные ветви

При $x = 0$ уравнение даёт $- 2 = 0$ — неверно, значит, у точек линии $x \neq = 0$ и

y = \frac{x ^{2} - 2}{x} = x - \frac{2}{x}

Для любого $x \neq = 0$ точка $(x; x - \frac{2}{x})$ лежит на линии. Например, точка $(t; t - \frac{2}{t})$ удалена от начала координат не меньше чем на $∣ t ∣$ (модуль абсциссы), то есть сколь угодно далеко при больших $t$ . А все точки окружности радиуса $r$ с центром $Q$ лежат от начала координат не дальше чем на $OQ + r$ . Значит, линия не может быть окружностью, что и требовалось доказать.

Вывод: а) уравнение задаёт серединный перпендикуляр к отрезку $M_{1} M_{2}$ — прямую; б) линия неограниченна, поэтому не является окружностью.

Номер 1383 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели