Номер 1388 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Дано:

точки $A$ , $B$ ; $k > 0$ , $k \neq = 1$

$A M = k \cdot BM$

Доказать:

а) множество точек $M$ — окружность; б) она пересекает любую окружность через $A$ и $B$ под прямым углом

Доказательство:

Чертёж к задаче 1388 — точки A и B, окружность Аполлония с центром Q, окружность через A и B с центром S, перпендикулярные радиусы QP и SP

а) Введём систему координат: $A (0; 0)$ , $B (d; 0)$ , где $d = A B$ . Условие $A M = k BM$ равносильно $A M^{2} = k^{2} B M^{2}$ :

x^{2} + y^{2} = k^{2} ((x - d)^{2} + y^{2}) \Leftrightarrow (k^{2} - 1) (x^{2} + y^{2}) - 2 k^{2} d x + k^{2} d^{2} = 0

Так как $k \neq = 1$ , разделим на $k^{2} - 1$ и выделим полный квадрат:

(x - \frac{k ^{2} d}{k ^{2} - 1})^{2} + y^{2} = \frac{k ^{4} d ^{2}}{( k ^{2} - 1 ) ^{2}} - \frac{k ^{2} d ^{2}}{k ^{2} - 1} = \frac{k ^{2} d ^{2}}{( k ^{2} - 1 ) ^{2}}

Это окружность с центром $Q (q; 0)$ и радиусом $r$ , где

q = \frac{k ^{2} d}{k ^{2} - 1}, r = \frac{k d}{∣ k ^{2} - 1∣}

б) Центр $S$ любой окружности, проходящей через $A$ и $B$ , лежит на серединном перпендикуляре к $A B$ : $S (\frac{d}{2}; s)$ , её радиус $ρ$ равен $S A$ : $ρ^{2} = \frac{d ^{2}}{4} + s^{2}$ .

1) Вычислим $Q S^{2}$ :

Q S^{2} = (q - \frac{d}{2})^{2} + s^{2} = q^{2} - q d + \frac{d ^{2}}{4} + s^{2} = q (q - d) + ρ^{2}

Но $q - d = \frac{k ^{2} d - k ^{2} d + d}{k ^{2} - 1} = \frac{d}{k ^{2} - 1}$ , поэтому $q (q - d) = \frac{k ^{2} d ^{2}}{( k ^{2} - 1 ) ^{2}} = r^{2}$ . Итак,

Q S^{2} = r^{2} + ρ^{2}

2) Отсюда окружности пересекаются: $∣ r - ρ ∣ < r^{2} + ρ^{2} = QS < r + ρ$ (оба неравенства проверяются возведением в квадрат: $- 2 r ρ < 0 < 2 r ρ$ ).

3) Пусть $P$ — точка пересечения. В треугольнике $QPS$ $QP = r$ , $SP = ρ$ и $Q S^{2} = Q P^{2} + S P^{2}$ . По теореме, обратной теореме Пифагора, $∠ QPS = 9 0^{\circ}$ , то есть радиусы $QP$ и $SP$ взаимно перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Вывод: а) окружность с центром на прямой $A B$ и радиусом $\frac{k \cdot A B}{∣ k ^{2} - 1∣}$ ; б) $Q S^{2} = r^{2} + ρ^{2}$ , поэтому радиусы в точку пересечения перпендикулярны.

Номер 1388 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели