Номер 1385 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Дано:

точки $A$ , $B$ , $C$ ; числа $α, β, γ$ ; число $d$

$α A M^{2} + βB M^{2} + γ C M^{2} = d$

Найти:

множество точек $M$ при а) $α + β + γ \neq = 0$ ; б) $α + β + γ = 0$

Решение:

Выведем уравнение искомого множества. Введём систему координат: $A (a_{1}; a_{2})$ , $B (b_{1}; b_{2})$ , $C (c_{1}; c_{2})$ , $M (x; y)$ , и обозначим $s = α + β + γ$ , а $d$ — данное постоянное значение суммы.

1) Так как $A M^{2} = x^{2} + y^{2} - 2 a_{1} x - 2 a_{2} y + a_{1}^{2} + a_{2}^{2}$ (и так же для $B M^{2}$ , $C M^{2}$ ), то

α A M^{2} + βB M^{2} + γ C M^{2} = s (x^{2} + y^{2}) - 2 ux - 2 v y + w

где $u = α a_{1} + β b_{1} + γ c_{1}$ , $v = α a_{2} + β b_{2} + γ c_{2}$ , $w = α (a_{1}^{2} + a_{2}^{2}) + β (b_{1}^{2} + b_{2}^{2}) + γ (c_{1}^{2} + c_{2}^{2})$ . Искомое множество задаётся уравнением

s (x^{2} + y^{2}) - 2 ux - 2 v y + w = d

а) $s \neq = 0$ . Разделим на $s$ и выделим полные квадраты ( $p = \frac{u}{s}$ , $q = \frac{v}{s}$ ):

(x - p)^{2} + (y - q)^{2} = K, K = p^{2} + q^{2} + \frac{d - w}{s}

Если $K > 0$ , это окружность с центром $(p; q)$ и радиусом $K$ ; если $K = 0$ , — одна точка $(p; q)$ ; если $K < 0$ , — точек нет. Центр $(p; q)$ — это точка с координатами $(\frac{α a _{1} + β b _{1} + γ c _{1}}{α + β + γ}; \frac{α a _{2} + β b _{2} + γ c _{2}}{α + β + γ})$ (при положительных числах — центр тяжести масс $α, β, γ$ из задачи 1381).

б) $s = 0$ . Квадраты исчезают, уравнение принимает вид

2 ux + 2 v y + (d - w) = 0

Если $u$ и $v$ не равны нулю одновременно, это уравнение прямой (задача 1383 а). Если $u = v = 0$ , то сумма равна $w$ для любой точки $M$ : при $d = w$ искомое множество — вся плоскость, при $d \neq = w$ — пустое множество.

Например, при $α = 1$ , $β = - 1$ , $γ = 0$ получаем известное множество точек $M$ с $A M^{2} - B M^{2} = d$ — прямую, перпендикулярную $A B$ .

Ответ: а) окружность, точка или пустое множество; б) прямая, вся плоскость или пустое множество.

Номер 1385 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели