Номер 1382 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Дано:

а) $A (2; 3)$ , $B (4; - 5)$ ; б) $A (- 2; 4)$ , $B (3; 1)$

$M$ на оси $O x$

Найти:

$M$ , при которой $A M + MB$ наименьшая

Решение:

а) Точки $A$ ( $y = 3 > 0$ ) и $B$ ( $y = - 5 < 0$ ) лежат по разные стороны от оси абсцисс.

Чертёж к задаче 1382 — точки A и B по разные стороны от оси Ox, искомая точка M — пересечение AB с осью

Для любой точки $X$ оси по неравенству треугольника $A X + XB \geq A B$ , причём равенство — только когда $X$ лежит на отрезке $A B$ . Значит, $M$ — точка пересечения отрезка $A B$ с осью $O x$ .

Точка $M (x; 0)$ делит $A B$ в отношении $λ = \frac{A M}{MB}$ . По ординатам (задача 1377):

0 = \frac{3 + λ \cdot ( - 5 )}{1 + λ} \Rightarrow λ = \frac{3}{5}, x = \frac{2 + \frac{3}{5} \cdot 4}{1 + \frac{3}{5}} = \frac{\frac{22}{5}}{\frac{8}{5}} = \frac{11}{4} = 2 \frac{3}{4}

б) Точки $A (- 2; 4)$ и $B (3; 1)$ лежат по одну сторону от оси.

Чертёж к задаче 1382 — точки A и B по одну сторону от оси Ox, точка B' симметрична B, M — пересечение AB' с осью

Возьмём точку $B^{'} (3; - 1)$ , симметричную $B$ относительно оси $O x$ . Для любой точки $X$ оси $XB = X B^{'}$ (ось — серединный перпендикуляр к $B B^{'}$ ), поэтому

A X + XB = A X + X B^{'} \geq A B^{'}

и наименьшее значение достигается в точке $M$ пересечения отрезка $A B^{'}$ с осью ( $A$ и $B^{'}$ — по разные стороны оси, как в пункте а). Точка $M$ делит $A B^{'}$ в отношении $λ$ :

0 = \frac{4 + λ \cdot ( - 1 )}{1 + λ} \Rightarrow λ = 4, x = \frac{- 2 + 4 \cdot 3}{1 + 4} = 2

Ответ: а) $M (2 \frac{3}{4}; 0)$ ; б) $M (2; 0)$ .

Номер 1382 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели