Номер 1392 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Дано:

$△ A BC$ , $A A_{1}$ — биссектриса

$b = A C$ , $c = A B$

Доказать:

$A A_{1} = \frac{2 b c cos \frac{A}{2}}{b + c}$

Доказательство:

Чертёж к задаче 1392 — треугольник ABC и биссектриса AA1, делящая угол A пополам

Обозначим $l = A A_{1}$ . Биссектриса делит угол $A$ на два угла по $\frac{A}{2}$ .

1) Треугольник $A BC$ составлен из треугольников $A B A_{1}$ и $A A_{1} C$ , поэтому $S_{A BC} = S_{A A_{1} B} + S_{A A_{1} C}$ :

\frac{1}{2} b c sin A = \frac{1}{2} c l sin \frac{A}{2} + \frac{1}{2} b l sin \frac{A}{2} = \frac{1}{2} l (b + c) sin \frac{A}{2}

2) Докажем, что $sin A = 2 sin \frac{A}{2} cos \frac{A}{2}$ . Возьмём равнобедренный треугольник с боковыми сторонами 1 и углом $A$ при вершине. Его площадь равна $\frac{1}{2} sin A$ . Высота к основанию — она же биссектриса — равна $cos \frac{A}{2}$ , а основание равно $2 sin \frac{A}{2}$ (из прямоугольного треугольника с гипотенузой 1 и острым углом $\frac{A}{2}$ ). Значит,

\frac{1}{2} sin A = \frac{1}{2} \cdot 2 sin \frac{A}{2} \cdot cos \frac{A}{2} \Rightarrow sin A = 2 sin \frac{A}{2} cos \frac{A}{2}

3) Подставим в равенство из п. 1 и сократим на $\frac{1}{2} sin \frac{A}{2} \neq = 0$ :

b c \cdot 2 sin \frac{A}{2} cos \frac{A}{2} = l (b + c) sin \frac{A}{2} \Rightarrow 2 b c cos \frac{A}{2} = l (b + c)

A A_{1} = l = \frac{2 b c cos \frac{A}{2}}{b + c}

Что и требовалось доказать.

Вывод: $A A_{1} = \frac{2 b c cos \frac{A}{2}}{b + c}$ .

Номер 1392 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели