Номер 1394 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Дано:

$A BC D$ вписан в окружность

$A B = a$ , $BC = b$ , $C D = c$ , $D A = d$ , $p = \frac{a + b + c + d}{2}$

Доказать:

$S = (p - a) (p - b) (p - c) (p - d)$

Доказательство:

Чертёж к задаче 1394 — четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность, со сторонами a, b, c, d и диагональю AC

1) Диагональ $A C$ делит четырёхугольник на треугольники $A BC$ и $A C D$ . Во вписанном четырёхугольнике $∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}$ , значит, $sin D = sin B$ , $cos D = - cos B$ . Поэтому

S = \frac{1}{2} ab sin B + \frac{1}{2} c d sin D = \frac{1}{2} (ab + c d) sin B

2) По теореме косинусов $A C^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos B = c^{2} + d^{2} + 2 c d cos B$ , откуда (как в задаче 1393)

cos B = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2} - d ^{2}}{2 ( ab + c d )}

3) Найдём $sin^{2} B = 1 - cos^{2} B$ , раскладывая разность квадратов:

sin^{2} B = \frac{( 2 ab + 2 c d ) ^{2} - ( a ^{2} + b ^{2} - c ^{2} - d ^{2} ) ^{2}}{4 ( ab + c d ) ^{2}}

(2 ab + 2 c d)^{2} - (a^{2} + b^{2} - c^{2} - d^{2})^{2} = ((c + d)^{2} - (a - b)^{2}) ((a + b)^{2} - (c - d)^{2})

= (c + d - a + b) (c + d + a - b) (a + b - c + d) (a + b + c - d)

Каждая скобка равна удвоенной разности полупериметра и одной стороны: $c + d - a + b = 2 p - 2 a$ , $c + d + a - b = 2 p - 2 b$ , $a + b - c + d = 2 p - 2 c$ , $a + b + c - d = 2 p - 2 d$ . Значит,

sin^{2} B = \frac{16 ( p - a ) ( p - b ) ( p - c ) ( p - d )}{4 ( ab + c d ) ^{2}}, sin B = \frac{2 ( p - a ) ( p - b ) ( p - c ) ( p - d )}{ab + c d}

(синус угла треугольника положителен).

4) Подставим в формулу из п. 1:

S = \frac{1}{2} (ab + c d) \cdot \frac{2 ( p - a ) ( p - b ) ( p - c ) ( p - d )}{ab + c d} = (p - a) (p - b) (p - c) (p - d)

Это и требовалось доказать (формула Брахмагупты; при $d = 0$ она превращается в формулу Герона).

Вывод: $S = (p - a) (p - b) (p - c) (p - d)$ .

Номер 1394 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели