Номер 1390 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Дано:

$A BC D$ , $O = A C \cap B D$

$S_{O D C}^{2} = S_{OBC} \cdot S_{O A D}$

Доказать:

$BC ∥ A D$ ( $A BC D$ — трапеция с основаниями $A D$ , $BC$ или параллелограмм)

Доказательство:

Чертёж к задаче 1390 — трапеция ABCD с диагоналями, пересекающимися в точке O, закрашены равновеликие треугольники OAB и OCD

Диагонали пересекаются, поэтому четырёхугольник выпуклый, а $O$ лежит внутри обоих отрезков $A C$ и $B D$ .

1) Пусть $∠ A OB = φ$ . Тогда $∠ CO D = φ$ (вертикальные), $∠ BOC = ∠ A O D = 18 0^{\circ} - φ$ , а $sin (18 0^{\circ} - φ) = sin φ$ . Поэтому

S_{O D C} \cdot S_{O A B} = \frac{1}{2} O D \cdot OC sin φ \cdot \frac{1}{2} O A \cdot OB sin φ = \frac{1}{4} O A \cdot OB \cdot OC \cdot O D sin^{2} φ

S_{OBC} \cdot S_{O A D} = \frac{1}{2} OB \cdot OC sin φ \cdot \frac{1}{2} O A \cdot O D sin φ = \frac{1}{4} O A \cdot OB \cdot OC \cdot O D sin^{2} φ

Значит, в любом выпуклом четырёхугольнике $S_{O D C} \cdot S_{O A B} = S_{OBC} \cdot S_{O A D}$ .

2) По условию $S_{O D C}^{2} = S_{OBC} \cdot S_{O A D} = S_{O D C} \cdot S_{O A B}$ . Разделив на $S_{O D C} > 0$ , получаем

S_{O A B} = S_{O D C}

3) Прибавим к обеим частям $S_{O A D}$ :

S_{A B D} = S_{O A B} + S_{O A D} = S_{O D C} + S_{O A D} = S_{A C D}

4) У треугольников $A B D$ и $A C D$ общее основание $A D$ , значит, равны их высоты: точки $B$ и $C$ одинаково удалены от прямой $A D$ . В выпуклом четырёхугольнике они лежат по одну сторону от $A D$ , поэтому $BC ∥ A D$ .

5) Итак, стороны $BC$ и $A D$ параллельны: если $A B$ и $C D$ не параллельны, $A BC D$ — трапеция с основаниями $A D$ и $BC$ , иначе — параллелограмм, что и требовалось доказать.

Вывод: $BC ∥ A D$ , поэтому $A BC D$ — трапеция с основаниями $A D$ и $BC$ или параллелограмм.

Номер 1390 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели