Номер 1381 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Дано:

массы $m_{1}$ , $m_{2}$ , $m_{3}$ в точках $A_{1} (x_{1}; y_{1})$ , $A_{2} (x_{2}; y_{2})$ , $A_{3} (x_{3}; y_{3})$

Найти:

координаты центра тяжести $G$

Решение:

Чертёж к задаче 1381 — три точки с массами, центр тяжести двух масс C12 и общий центр тяжести G на отрезке A3C12

Из физики: центр тяжести двух масс $m$ и $n$ , сосредоточенных в точках $X$ и $Y$ , — точка $Z$ отрезка $X Y$ , для которой $\frac{XZ}{Z Y} = \frac{n}{m}$ (правило рычага), а вся масса $m + n$ при дальнейшем сложении считается сосредоточенной в $Z$ .

1) Центр тяжести $C_{12}$ масс $m_{1}$ и $m_{2}$ делит отрезок $A_{1} A_{2}$ в отношении $λ = \frac{m _{2}}{m _{1}}$ . По задаче 1377:

x_{12} = \frac{x _{1} + \frac{m _{2}}{m _{1}} x _{2}}{1 + \frac{m _{2}}{m _{1}}} = \frac{m _{1} x _{1} + m _{2} x _{2}}{m _{1} + m _{2}}, y_{12} = \frac{m _{1} y _{1} + m _{2} y _{2}}{m _{1} + m _{2}}

2) Теперь масса $m_{1} + m_{2}$ сосредоточена в $C_{12}$ , а масса $m_{3}$ — в $A_{3}$ . Центр тяжести $G$ делит отрезок $C_{12} A_{3}$ в отношении $λ = \frac{m _{3}}{m _{1} + m _{2}}$ :

x = \frac{x _{12} + \frac{m _{3}}{m _{1} + m _{2}} x _{3}}{1 + \frac{m _{3}}{m _{1} + m _{2}}} = \frac{( m _{1} + m _{2} ) x _{12} + m _{3} x _{3}}{m _{1} + m _{2} + m _{3}} = \frac{m _{1} x _{1} + m _{2} x _{2} + m _{3} x _{3}}{m _{1} + m _{2} + m _{3}}

Аналогично

y = \frac{m _{1} y _{1} + m _{2} y _{2} + m _{3} y _{3}}{m _{1} + m _{2} + m _{3}}

Ответ симметричен относительно масс, поэтому не зависит от того, какие две массы сложить первыми. При $m_{1} = m_{2} = m_{3}$ получается центр тяжести треугольника из задачи 1378.

Замечание. В ответе учебника в формуле напечатаны минусы перед $x_{3} m_{3}$ и $y_{2} m_{2}$ — это опечатка, все слагаемые со знаком «плюс».

Ответ: $G (\frac{m _{1} x _{1} + m _{2} x _{2} + m _{3} x _{3}}{m _{1} + m _{2} + m _{3}}; \frac{m _{1} y _{1} + m _{2} y _{2} + m _{3} y _{3}}{m _{1} + m _{2} + m _{3}})$ .

Номер 1381 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели