№1395. Докажите, что стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей, перпендикулярна к одной из биссектрис треугольника.
Дано:
(не равносторонний), , ,
— центр описанной, — центр вписанной окружности
Доказать:
стороны образуют арифметическую прогрессию прямая перпендикулярна одной из биссектрис
Доказательство:
У равностороннего треугольника и прямая не определена, поэтому треугольник считаем неравносторонним. Достаточно доказать: (для биссектрис из и — так же). Действительно, стороны образуют прогрессию ровно тогда, когда одна из них (средняя) равна полусумме двух других.
1) Пусть биссектриса угла пересекает в точке , а описанную окружность ещё раз — в точке . Точка лежит на отрезке , — между и .
2) . Вписанные углы и опираются на одну дугу, поэтому . Тогда
( — внешний угол треугольника ). Треугольник равнобедренный: .
3) — середина . Треугольник равнобедренный (), его медиана к основанию является высотой; обратно, перпендикуляр из на хорду попадает в её середину. (Если бы лежал на , то середина совпала бы с , а .)
4) Найдём отношение . Обозначим , , . Треугольники и подобны: угол общий, . Поэтому
5) — биссектриса треугольника , а по свойству биссектрисы треугольника . Значит,
6) Из п. 4 . Получаем
Следовательно, — середина () тогда и только тогда, когда , то есть . Вместе с п. 3: , что и требовалось доказать.
Пример на рисунке: стороны 4, 5, 6 образуют прогрессию, и прямая перпендикулярна биссектрисе угла, противолежащего средней стороне.
Вывод: прямая перпендикулярна биссектрисе угла тогда и только тогда, когда ; поэтому условие равносильно тому, что стороны образуют арифметическую прогрессию.
