Номер 1396 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№1396. В прямоугольной трапеции $A BC D$ меньшее основание $A D$ равно 3, а боковая сторона $C D$ , не перпендикулярная к основаниям, равна 6. Точка $E$ — середина отрезка $C D$ , угол $CBE$ равен $α$ . Найдите площадь трапеции $A BC D$ .

Дано:

$A BC D$ — прямоугольная трапеция, $A B ⊥ BC$

$A D = 3$ , $C D = 6$ , $CE = E D$ , $∠ CBE = α$

Найти:

$S_{A BC D}$

Решение:

Чертёж к задаче 1396 — прямоугольная трапеция ABCD, середина E боковой стороны CD, угол CBE равен альфа

1) Боковая сторона $C D$ не перпендикулярна основаниям, значит, перпендикулярна им сторона $A B$ . Введём координаты: $B (0; 0)$ , $C (c; 0)$ , $A (0; h)$ , $D (3; h)$ , где $h = A B$ , $c = BC > 3$ .

2) Середина $C D$ : $E (\frac{c + 3}{2}; \frac{h}{2})$ . Обозначим $s = c + 3 = A D + BC$ . Из прямоугольного треугольника с катетами $\frac{s}{2}$ и $\frac{h}{2}$ (проекции $BE$ на оси):

tg α = \frac{h /2}{s /2} = \frac{h}{s} \Rightarrow h = s tg α

3) Длина $C D$ : $(c - 3)^{2} + h^{2} = 36$ , то есть $(s - 6)^{2} + s^{2} tg^{2} α = 36$ :

s^{2} (1 + tg^{2} α) - 12 s = 0 \Rightarrow s = \frac{12}{1 + tg ^{2} α} = 12 cos^{2} α

(использовали $1 + tg^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α}$ ).

h = s tg α = 12 cos^{2} α \cdot \frac{sin α}{cos α} = 12 sin α cos α

4) Площадь трапеции:

S = \frac{A D + BC}{2} \cdot A B = \frac{s}{2} \cdot h = 6 cos^{2} α \cdot 12 sin α cos α = 72 sin α cos^{3} α

Замечание: так как $c > 3$ , то $s = 12 cos^{2} α > 6$ , то есть $α < 4 5^{\circ}$ — иначе такой трапеции нет.

Ответ: $S = 72 sin α cos^{3} α$ .

Номер 1396 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели