Номер 1380 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№1380. В треугольнике $A BC$ : $A C = 9 см$ , $BC = 12 см$ . Медианы $A M$ и $BN$ взаимно перпендикулярны. Найдите $A B$ .

Дано:

$△ A BC$ , $A C = 9 см$ , $BC = 12 см$

$A M$ , $BN$ — медианы, $A M ⊥ BN$

Найти:

$A B$

Решение:

Чертёж к задаче 1380 — треугольник ABC, перпендикулярные медианы AM и BN — оси координат с началом в точке G

1) Пусть $G$ — точка пересечения медиан. Примем прямые $A M$ и $BN$ за оси координат с началом в точке $G$ (это возможно, так как они перпендикулярны). Медианы делятся точкой $G$ в отношении $2 : 1$ от вершины, поэтому можно записать

A (2 p; 0), M (- p; 0), B (0; 2 q), N (0; - q)

2) $M$ — середина $BC$ , поэтому $C = 2 M - B$ , то есть $C (- 2 p; - 2 q)$ . (Проверка: середина $A C$ — точка $(0; - q)$ , это $N$ .)

3) Запишем данные длины:

A C^{2} = (2 p + 2 p)^{2} + (0 + 2 q)^{2} = 16 p^{2} + 4 q^{2} = 81

B C^{2} = (0 + 2 p)^{2} + (2 q + 2 q)^{2} = 4 p^{2} + 16 q^{2} = 144

4) Сложим равенства:

20 (p^{2} + q^{2}) = 225 \Rightarrow p^{2} + q^{2} = \frac{45}{4}

5) Тогда

A B^{2} = (2 p)^{2} + (2 q)^{2} = 4 (p^{2} + q^{2}) = 45 \Rightarrow A B = 45 = 35 см

(Такой треугольник существует: из системы $p^{2} = 3$ , $q^{2} = \frac{33}{4}$ .)

Ответ: $A B = 35$ см.

Номер 1380 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели