Номер 1398 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Дано:

$△ A BC$ : $A H = h$ — высота, $A M = l$ — медиана, $A N$ — биссектриса

$H N = NM$

Найти:

$A H_{0}$ , где $H_{0}$ — точка пересечения высот

Решение:

Чертёж к задаче 1398 — треугольник ABC с высотой AH, биссектрисой AN и медианой AM, центр O описанной окружности, середина K отрезка AO

Пусть $O$ — центр описанной окружности, $R$ — её радиус. Если $A B = A C$ , то $H = N = M$ и условие ничего не даёт, поэтому $A B \neq = A C$ и $m = H M > 0$ . По теореме Пифагора $m^{2} = l^{2} - h^{2}$ .

1) $A N$ — биссектриса угла $H A O$ . Пусть $A N$ пересекает описанную окружность в точке $W$ . Равные вписанные углы $B A W$ и $W A C$ опираются на равные дуги, поэтому $W B = W C$ и $W$ лежит на серединном перпендикуляре $OM$ к $BC$ . Значит, $O W ∥ A H$ (обе прямые перпендикулярны $BC$ ). Треугольник $A O W$ равнобедренный, поэтому $∠ O A W = ∠ O W A = ∠ W A H$ (накрест лежащие).

2) $A H$ и $OM$ перпендикулярны $BC$ . Проведём через середину $N$ отрезка $H M$ прямую, параллельную $A H$ ; она пересекает $A O$ в его середине $K$ (теорема Фалеса). Тогда $∠ K N A = ∠ N A H = ∠ N A K$ (накрест лежащие и п. 1), треугольник $A K N$ равнобедренный:

K N = K A = \frac{R}{2}

3) Введём координаты: $H (0; 0)$ , $A (0; h)$ , $M (m; 0)$ , $O (m; t)$ . Тогда $K (\frac{m}{2}; \frac{h + t}{2})$ , $N (\frac{m}{2}; 0)$ и $K N = \frac{∣ h + t ∣}{2}$ . Из п. 2 и из $A O = R$ :

R^{2} = (h + t)^{2}, R^{2} = A O^{2} = m^{2} + (h - t)^{2}

(h + t)^{2} - (h - t)^{2} = m^{2} \Rightarrow 4 h t = m^{2} \Rightarrow t = OM = \frac{m ^{2}}{4 h}

4) По задаче 1375 $A H_{0} = 2 OM$ ( $M$ — середина $BC$ ), значит,

A H_{0} = 2 OM = \frac{m ^{2}}{2 h} = \frac{l ^{2} - h ^{2}}{2 h}

Ответ: $\frac{l ^{2} - h ^{2}}{2 h}$ .

Номер 1398 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели