Номер 1399 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Дано:

$A B$ — сторона правильного десятиугольника, вписанного в окружность $(O; R)$

$A C$ — биссектриса $∠ O A B$ , $C \in OB$

Доказать:

а) $△ A BC \sim △ O A B$ ; б) $A B = A C = OC = \frac{5 - 1}{2} R$

Доказательство:

Чертёж к задаче 1399 — правильный десятиугольник в окружности, сторона AB, радиусы OA и OB, биссектриса AC угла OAB

а) Сторона правильного десятиугольника видна из центра под углом $∠ A OB = \frac{36 0 ^{\circ}}{10} = 3 6^{\circ}$ . Треугольник $O A B$ равнобедренный ( $O A = OB = R$ ):

∠ O A B = ∠ OB A = \frac{18 0 ^{\circ} - 3 6 ^{\circ}}{2} = 7 2^{\circ}, ∠ O A C = ∠ C A B = 3 6^{\circ}

В треугольнике $A BC$ : $∠ B A C = 3 6^{\circ} = ∠ A OB$ , $∠ A BC = 7 2^{\circ} = ∠ OB A$ . Треугольники $A BC$ и $O A B$ подобны по двум углам ( $A \leftrightarrow O$ , $B \leftrightarrow A$ , $C \leftrightarrow B$ ).

б) В треугольнике $A BC$ $∠ A CB = 18 0^{\circ} - 3 6^{\circ} - 7 2^{\circ} = 7 2^{\circ} = ∠ A BC$ , поэтому $A C = A B$ . В треугольнике $A OC$ $∠ O A C = ∠ A OC = 3 6^{\circ}$ , поэтому $OC = A C$ . Итак, $A B = A C = OC = x$ , и $BC = R - x$ .

Из подобия $△ A BC \sim △ O A B$ :

\frac{BC}{A B} = \frac{A B}{O A} \Rightarrow \frac{R - x}{x} = \frac{x}{R} \Rightarrow x^{2} + R x - R^{2} = 0

x = \frac{- R + R ^{2} + 4 R ^{2}}{2} = \frac{5 - 1}{2} R

(второй корень отрицателен). Это и требовалось доказать.

Вывод: а) треугольники подобны по углам $3 6^{\circ}$ и $7 2^{\circ}$ ; б) $A B = A C = OC = \frac{5 - 1}{2} R$ .

Номер 1399 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели