Номер 1401 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Дано:

$A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}$ — правильный, $O$ — центр описанной окружности

$A$ , $B$ , $C$ — середины $A_{1} A_{2}$ , $A_{2} A_{3}$ , $A_{3} A_{4}$ ; $O_{1}$ — центр вписанной в $△ A BC$ окружности

Доказать:

$O$ и $O_{1}$ симметричны относительно $A C$

Доказательство:

Чертёж к задаче 1401 — правильный пятиугольник, треугольник ABC из середин трёх сторон, центр O и центр вписанной окружности O1

1) $A_{2} A = A_{2} B$ и $A_{3} B = A_{3} C$ (половины равных сторон), $∠ A_{1} A_{2} A_{3} = ∠ A_{2} A_{3} A_{4} = 10 8^{\circ}$ . В равнобедренных треугольниках $A A_{2} B$ и $B A_{3} C$ углы при основаниях равны $\frac{18 0 ^{\circ} - 10 8 ^{\circ}}{2} = 3 6^{\circ}$ . Так как $A_{2}$ , $B$ , $A_{3}$ на одной прямой,

∠ A BC = 18 0^{\circ} - 3 6^{\circ} - 3 6^{\circ} = 10 8^{\circ}

Треугольники $A A_{2} B$ и $C A_{3} B$ равны, поэтому $B A = BC$ и $∠ B A C = ∠ BC A = 3 6^{\circ}$ .

2) Середины равных хорд $A_{1} A_{2}$ , $A_{2} A_{3}$ , $A_{3} A_{4}$ одинаково удалены от центра: $O A = OB = OC$ . Значит, $O$ — центр окружности, описанной около $△ A BC$ . Угол $B$ тупой, поэтому $O$ лежит по другую сторону от $A C$ , чем $B$ , а центральный угол $A OC$ опирается на дугу, не содержащую $B$ :

∠ A OC = 36 0^{\circ} - 2 \cdot 10 8^{\circ} = 14 4^{\circ}, ∠ O A C = \frac{18 0 ^{\circ} - 14 4 ^{\circ}}{2} = 1 8^{\circ}

3) Пусть $O^{'}$ — точка, симметричная $O$ относительно $A C$ . Она лежит по ту же сторону от $A C$ , что и $B$ , и $∠ O^{'} A C = ∠ O A C = 1 8^{\circ} = \frac{1}{2} ∠ B A C$ , то есть $O^{'}$ лежит на биссектрисе угла $A$ .

4) Прямая $BO$ — серединный перпендикуляр к $A C$ ( $B A = BC$ , $O A = OC$ ), она перпендикулярна $A C$ и при симметрии переходит в себя, поэтому $O^{'}$ лежит на $BO$ . В равнобедренном треугольнике эта прямая — биссектриса угла $B$ .

5) $O^{'}$ — общая точка биссектрис углов $A$ и $B$ , то есть центр вписанной окружности: $O^{'} = O_{1}$ . Значит, $O$ и $O_{1}$ симметричны относительно прямой $A C$ , что и требовалось доказать.

Вывод: $O_{1}$ — образ $O$ при симметрии относительно $A C$ ( $∠ O A C = ∠ O_{1} A C = 1 8^{\circ}$ ).

Номер 1401 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели