Номер 1402 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Построение:

0) Если центр окружности не отмечен, найдём его: проведём две непараллельные хорды и серединные перпендикуляры к ним; их точка пересечения — центр $O$.

1) Проведём диаметр через $O$ и отметим его конец $A$. Построим прямую, перпендикулярную $OA$ в точке $O$, и отметим точку $B$ её пересечения с окружностью.

2) Построим середину $C$ отрезка $OB$ (серединный перпендикуляр к $OB$).

3) Проведём окружность с центром $C$ радиуса $CO$ и отрезок $AC$; отметим точку $K$ их пересечения.

4) Раствором циркуля, равным $AK$, от точки $A_1=A$ последовательно отложим на окружности точки $A_2$, $A_3$, …, $A_{10}$ (каждая — пересечение окружности с дугой радиуса $AK$ с центром в предыдущей точке, в одну сторону). Многоугольник $A_1{A}_2\dots A_{10}$ — искомый.

Доказательство:

По задаче 1400 $AK=\frac{\sqrt{5}-1}{2}R=a_{10}$ — сторона правильного десятиугольника, вписанного в эту окружность. Хорда длины $a_{10}$ стягивает дугу $36^{\circ }$: равнобедренные треугольники $O{A}_i{A}_{i+1}$ равны треугольнику, образованному центром и стороной правильного десятиугольника (по трём сторонам), поэтому $\angle A_{i}O{A}_{i+1}=36^{\circ }$. Десять таких дуг составляют $360^{\circ }$, поэтому $A_{10}{A}_1$ — тоже хорда в $36^{\circ }$. У многоугольника все стороны равны, а все углы равны (каждый опирается на дугу $8\cdot 36^{\circ }$), значит, он правильный.