Номер 1403 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Построение:

1) Впишем в окружность правильный десятиугольник $B_1{B}_2\dots B_{10}$ (задача 1402).

2) Соединим его вершины через одну: $B_1{B}_3$, $B_3{B}_5$, $B_5{B}_7$, $B_7{B}_9$, $B_9{B}_1$. Пятиугольник $B_1{B}_3{B}_5{B}_7{B}_9$ — искомый.

Доказательство:

Каждая сторона $B_1{B}_3$, $B_3{B}_5$, … стягивает две соседние дуги по $36^{\circ }$, то есть дугу $72^{\circ }$. Хорды, стягивающие равные дуги, равны — все стороны пятиугольника равны. Каждый его угол вписанный и опирается на дугу $3\cdot 72^{\circ }=216^{\circ }$, поэтому все углы равны $108^{\circ }$. Значит, пятиугольник правильный и вписан в данную окружность.