Номер 1405 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№1405. Пусть $M$ — произвольная точка, лежащая внутри правильного $n$ -угольника. Докажите, что сумма перпендикуляров, проведённых из точки $M$ к прямым, содержащим стороны $n$ -угольника, равна $n r$ , где $r$ — радиус вписанной окружности.

Дано:

$A_{1} A_{2} \dots A_{n}$ — правильный, сторона $a$ , $r$ — радиус вписанной окружности

$M$ — внутри, $h_{1}$ , …, $h_{n}$ — расстояния от $M$ до прямых сторон

Доказать:

$h_{1} + h_{2} + \dots + h_{n} = n r$

Доказательство:

Чертёж к задаче 1405 — правильный шестиугольник, точка M внутри, перпендикуляры из M к сторонам и отрезки из M к вершинам

1) Соединим $M$ с вершинами. Правильный многоугольник выпуклый, а $M$ — внутри него, поэтому треугольники $M A_{1} A_{2}$ , $M A_{2} A_{3}$ , …, $M A_{n} A_{1}$ не перекрываются и составляют весь многоугольник. У каждого из них основание — сторона $a$ , а высота — перпендикуляр $h_{i}$ из $M$ к прямой этой стороны:

S = \frac{1}{2} a h_{1} + \frac{1}{2} a h_{2} + \dots + \frac{1}{2} a h_{n} = \frac{1}{2} a (h_{1} + h_{2} + \dots + h_{n})

2) С другой стороны, площадь правильного многоугольника равна половине произведения периметра на радиус вписанной окружности:

S = \frac{1}{2} P r = \frac{1}{2} na r

(это то же разбиение, только с точкой $O$ вместо $M$ : все высоты равны $r$ ).

3) Приравняем:

\frac{1}{2} a (h_{1} + \dots + h_{n}) = \frac{1}{2} na r \Rightarrow h_{1} + h_{2} + \dots + h_{n} = n r

Сумма не зависит от положения точки $M$ , что и требовалось доказать.

Вывод: $h_{1} + h_{2} + \dots + h_{n} = n r$ для любой точки $M$ внутри правильного $n$ -угольника.

Номер 1405 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели