Номер 1406 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Доказательство:

1) $\phi +2\phi +4\phi =180^{\circ }$, поэтому $\phi =\frac{180^{\circ }}{7}$. Обозначим $u=2\phi =\frac{360^{\circ }}{7}$ — дугу между соседними вершинами правильного семиугольника. Треугольник неравносторонний, и по задаче 918 шесть данных точек лежат на одной окружности $\omega$ (окружности Эйлера).

2) Треугольник $A_3{B}_3{C}_3$ (из средних линий) имеет углы $\angle A_3=\angle A=4\phi$, $\angle B_3=2\phi$, $\angle C_3=\phi$ и вписан в $\omega$. Вписанный угол равен половине дуги, поэтому дуги (не содержащие третью вершину):

Отсчитывая дуги от $A_3$ в одном направлении, получаем положения (в единицах $u$): $A_3=0$, $B_3=1$, $C_3=5$.

3) Основание высоты — вершина прямого угла, а медиана к гипотенузе равна её половине. Например, в прямоугольном треугольнике $A{A}_{1}B$ $C_3{A}_1=\frac{c}{2}=A_3{B}_3$, в треугольнике $A{A}_{1}C$ $B_3{A}_1=\frac{b}{2}=A_3{C}_3$. Аналогично

Равные хорды окружности $\omega$ стягивают равные дуги, а хорда, стягивающая дугу $ku$, стягивает и дугу $(7-k)u$. Средние линии: $A_3{B}_3=\frac{c}{2}$ — дуга $1u$, $A_3{C}_3=\frac{b}{2}$ — дуга $2u$, $B_3{C}_3=\frac{a}{2}$ — дуга $4u$ (или $3u$). Отсюда:

• $A_1$: на дуге $1u$ от $C_3$ (положение 4 или 6) и на дуге $2u$ от $B_3$ (положение 3 или 6) — $A_1=6$;

• $B_1$: на дуге $1u$ от $C_3$ (4 или 6) и на дуге $3u$ от $A_3$ (3 или 4) — $B_1=4$;

• $C_1$: на дуге $3u$ от $A_3$ (3 или 4) и на дуге $2u$ от $B_3$ (3 или 6) — $C_1=3$.

4) Итак, шесть точек занимают на окружности $\omega$ положения $0,1,3,4,5,6$ (в единицах $u=\frac{360^{\circ }}{7}$). Это шесть из семи вершин правильного семиугольника, вписанного в $\omega$ (пропущена вершина с номером 2), что и требовалось доказать.