Номер 1408 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Дано:

окружность $(O; R)$ , $B$ — конец горизонтального диаметра, $BC = 6 R$ , $BC ⊥ A B$

$A$ — проекция на диаметр конца радиуса, образующего угол $6 0^{\circ}$ с вертикальным радиусом

Доказать:

$∣ A C - 2 π R ∣ < 0, 001 R$

Доказательство:

Чертёж к задаче 1408 — окружность с центром O, точка A на диаметре, отрезок BC длиной 6R перпендикулярно диаметру и отрезок AC

1) По рисунку 424 радиус $OP$ образует с вертикальным радиусом угол $6 0^{\circ}$ , а $A$ — основание перпендикуляра из $P$ на горизонтальный диаметр. В прямоугольном треугольнике $O A P$ угол $A OP = 9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 3 0^{\circ}$ , поэтому

O A = R cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2} R, A B = A O + OB = R + \frac{3}{2} R

2) Треугольник $A BC$ прямоугольный ( $BC ⊥ A B$ ), $BC = 6 R$ :

A C^{2} = (1 + \frac{3}{2})^{2} R^{2} + 36 R^{2} = (1 + 3 + \frac{3}{4} + 36) R^{2} = (\frac{151}{4} + 3) R^{2}

3) Так как $1, 73205 < 3 < 1, 73206$ , то $39, 48205 < \frac{A C ^{2}}{R ^{2}} < 39, 48206$ . Возведением в квадрат проверяем: $6, 2834 7^{2} = 39, 48199 \dots$ , $6, 2834 8^{2} = 39, 48212 \dots$ . Значит,

6, 28347 R < A C < 6, 28348 R

4) Длина окружности $2 π R$ , $3, 14159 < π < 3, 14160$ , то есть $6, 28318 R < 2 π R < 6, 28320 R$ . Тогда

0 < A C - 2 π R < 6, 28348 R - 6, 28318 R = 0, 0003 R < 0, 001 R

Длина $A C$ отличается от длины окружности меньше чем на $0, 001 R$ (примерно на $0, 00029 R$ ), что и требовалось доказать.

Вывод: $A C = R \frac{151}{4} + 3 \approx 6, 28347 R$ , $2 π R \approx 6, 28319 R$ , разность меньше $0, 001 R$ .

Номер 1408 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели