Номер 1407 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№1407. Пусть $A BC D$ — квадрат, а $A_{1} B_{1} C_{1}$ — правильный треугольник, вписанные в окружность радиуса $R$ . Докажите, что сумма $A B + A_{1} B_{1}$ равна длине полуокружности с точностью до $0, 01 R$ .

Дано:

квадрат $A BC D$ и правильный $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ вписаны в окружность радиуса $R$

Доказать:

$∣ A B + A_{1} B_{1} - π R ∣ < 0, 01 R$

Доказательство:

Чертёж к задаче 1407 — окружность, вписанные в неё квадрат ABCD и правильный треугольник A1B1C1

1) Стороны правильных многоугольников, вписанных в окружность радиуса $R$ :

A B = a_{4} = R 2, A_{1} B_{1} = a_{3} = R 3

2) Оценим сумму: $1, 4142 < 2 < 1, 4143$ , $1, 7320 < 3 < 1, 7321$ (проверяется возведением в квадрат), поэтому

3, 1462 R < A B + A_{1} B_{1} < 3, 1464 R

3) Длина полуокружности $π R$ , $3, 1415 < π < 3, 1416$ . Значит,

0 < A B + A_{1} B_{1} - π R < 3, 1464 R - 3, 1415 R = 0, 0049 R < 0, 01 R

Сумма $A B + A_{1} B_{1}$ отличается от длины полуокружности меньше чем на $0, 01 R$ (на самом деле примерно на $0, 0047 R$ ), что и требовалось доказать.

Вывод: $A B + A_{1} B_{1} = R (2 + 3) \approx 3, 1463 R$ , $π R \approx 3, 1416 R$ , разность меньше $0, 01 R$ .

Номер 1407 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели